{"id":66963,"date":"2025-01-05T17:22:32","date_gmt":"2025-01-05T17:22:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.africa-press.net\/centrafricaine\/politique\/mathematiques-et-ia-les-theoremes-a-lheure-de-linnovation-algorithmique"},"modified":"2025-01-05T18:33:15","modified_gmt":"2025-01-05T18:33:15","slug":"mathematiques-et-ia-les-theoremes-a-lheure-de-linnovation-algorithmique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.africa-press.net\/centrafricaine\/toutes-les-actualites\/mathematiques-et-ia-les-theoremes-a-lheure-de-linnovation-algorithmique","title":{"rendered":"Math\u00e9matiques et IA : les th\u00e9or\u00e8mes \u00e0 l’heure de l’innovation algorithmique"},"content":{"rendered":"

Africa-Press – CentrAfricaine. <\/strong><\/span>ChatGPT, de\u0301montre-moi l’hypothe\u0300se de Riemann.\u00a0\u00bb Quand on pose la question au chatbot bien connu d’OpenAI, il l’e\u0301lude. Il pre\u0301fe\u0300re nous rappeler que la conjecture de Riemann est l’un des sept fameux \u00ab\u00a0proble\u0300mes du mille\u0301naire\u00a0\u00bb, un ensemble de questions re\u0301pute\u0301es extre\u0302mement difficiles a\u0300 re\u0301soudre. Mais c’est tout. Les mathe\u0301matiques sont l’une des fierte\u0301s de l’humanite\u0301, et il parai\u0302t presque inconcevable que l’IA s’y illustre. Pourtant, depuis trois ans, de plus en plus de chercheurs explorent l’aide qu’elle peut apporter dans les mathe\u0301matiques. Et plus les progre\u0300s arrivent, moins ils voient de questions qu’elle ne pourrait re\u0301soudre.<\/p>\n

Le pave\u0301 dans la mare a e\u0301te\u0301 lance\u0301 en 2021 par des chercheurs de Google Deep-Mind, des universite\u0301s de Sydney (Australie) et d’Oxford (Royaume-Uni). Dans un article publie\u0301 dans Nature, ils expliquent comment ils se sont servis des outils de l’IA pour re\u0301soudre un proble\u0300me du domaine de la the\u0301orie des n\u0153uds. \u00ab\u00a0Ce travail a constitue\u0301 une ve\u0301ritable perce\u0301e, car il a montre\u0301 qu’il e\u0301tait possible d’utiliser le machine learning [apprentissage automatique] en mathe\u0301matiques fondamentales \u00ab\u00a0, se souvient Radmila Sazdanovic, chercheuse a\u0300 l’Universite\u0301 d’E\u0301tat de Caroline du Nord (E\u0301tats-Unis).<\/p>\n

La the\u0301orie des n\u0153uds est une discipline qui e\u0301tudie les manie\u0300res d’entortiller une corde. Une des questions importantes, mais difficiles, est de distinguer deux n\u0153uds: quand on colle les deux bouts de la corde, deux n\u0153uds sont diffe\u0301rents si on ne peut pas passer de l’un a\u0300 l’autre sans couper la corde. Pour re\u0301pondre a\u0300 ce type de questions, les mathe\u0301maticiens ont cre\u0301e\u0301 des objets, appele\u0301s invariants de n\u0153uds, qui permettent de les distinguer.<\/p>\n

\u00ab\u00a0On peut les voir comme des images d’un n\u0153ud depuis diffe\u0301rents points de vue \u00ab\u00a0, propose Radmila Sazdanovic. Pour faciliter les calculs parfois complexes des invariants et mieux les comprendre, il est inte\u0301ressant de savoir s’il existe une formule pour passer d’un invariant a\u0300 un autre. C’est pour re\u0301pondre a\u0300 cette question qu’en 2021, les chercheurs ont entrai\u0302ne\u0301 un mode\u0300le d’IA sur une base de donne\u0301es de plus de 2 millions de n\u0153uds dote\u0301s de deux invariants. La mission de l’ordinateur e\u0301tait alors de deviner un invariant lorsqu’on lui donnait l’autre. Ce qu’il a re\u0301ussi.<\/p>\n

Si les chercheurs en restaient la\u0300, ils auraient pour information qu’il y a bien un lien unissant les deux invariants, ce qui permet a\u0300 la machine de deviner l’autre, mais sans en dire plus. \u00ab\u00a0La difficulte\u0301 est que ces outils sont des boi\u0302tes noires: on ne sait pas vraiment ce qu’ils font \u00ab\u00a0, souligne Geordie Williamson, chercheur a\u0300 l’Universite\u0301 de Sydney qui a participe\u0301 a\u0300 l’e\u0301tude. Heureusement, il est possible de de\u0301coder les choix de l’algorithme gra\u0302ce a\u0300 une technique appele\u0301e analyse de saillance.<\/p>\n

\u00ab\u00a0Imaginez qu’on a une boi\u0302te noire qui reconnai\u0302t les images de tigre: on peut cacher successivement toutes les parties des photos pour identifier celles qui comptent pour reconnai\u0302tre l’animal. C’est un peu ce qu’on a fait ici \u00ab\u00a0, illustre-t-il. Avec cette technique, ils ont pu trouver une formule reliant les invariants. \u00ab\u00a0Le mode\u0300le a vraiment sugge\u0301re\u0301 des ide\u0301es aux mathe\u0301maticiens \u00ab\u00a0, comple\u0300te Kevin Buzzard, mathe\u0301maticien a\u0300 l’Imperial College de Londres (Royaume-Uni). Malgre\u0301 ce succe\u0300s, l’adoption de ces outils est timide dans la communaute\u0301 mathe\u0301matique. \u00ab\u00a0Les mathe\u0301maticiens sont assez conservateurs \u00ab\u00a0, admet-il.<\/p>\n

D’autres travaux ont toutefois vu le jour par la suite. A\u0300 l’instar des chercheurs de l’Imperial College de Londres et de l’Universite\u0301 de Nottingham (Royaume-Uni), qui cherchaient a\u0300 de\u0301chiffrer une expression mathe\u0301matique complique\u0301e, appele\u0301e pe\u0301riode quantique, qui est comparable a\u0300 l’empreinte digitale d’un certain type de formes, les varie\u0301te\u0301s de Fano.<\/p>\n

L’avantage de l’apprentissage automatique, c’est sa capacite\u0301 a\u0300 analyser des quantite\u0301s conside\u0301rables de donne\u0301es. Il ne re\u0301sout pas le proble\u0300me a\u0300 la place du spe\u0301cialiste mais aide a\u0300 mieux comprendre des donne\u0301es, sugge\u0300re des liens, ge\u0301ne\u0300re des exemples ou des contre-exemples, oriente un calcul d’une manie\u0300re astucieuse…<\/p>\n

Les mathe\u0301maticiens sont alors la\u0300 pour comprendre les retours de l’algorithme, en de\u0301duire des conjectures et les prouver. Tout en gardant en te\u0302te que \u00ab\u00a0le mode\u0300le peut faire une erreur a\u0300 tout moment. Alors qu’en mathe\u0301matiques il faut que cela soit juste tout le temps \u00ab\u00a0, souligne Thomas Hubert, chercheur chez Google DeepMind.<\/p>\n

L’apprentissage par renforcement e\u0301vite les erreurs<\/b><\/p>\n

Mais nous sommes peut-e\u0302tre a\u0300 l’aube d’un tout autre ave\u0300nement: celui des mode\u0300les d’IA qui ne font pas d’erreurs. Et ce, gra\u0302ce a\u0300 l’apprentissage par renforcement. Cette me\u0301thode consiste a\u0300 faire jouer la machine a\u0300 un jeu, en la re\u0301compensant quand elle re\u0301ussit. C’est elle qui a permis a\u0300 DeepMind de concevoir des mode\u0300les comme AlphaGo, capable de battre les meilleurs joueurs de go. Or les proble\u0300mes de mathe\u0301matiques, eux aussi, peuvent e\u0302tre vus comme des jeux.<\/p>\n

\u00ab\u00a0Prenez une conjecture: il y a des hypothe\u0300ses et le but est de montrer qu’elle est vraie. Le jeu auquel la machine va jouer est de trouver le cheminement des hypothe\u0300ses au but, e\u0301claire Sergei Gukov, chercheur au California Institute of Technology (E\u0301tats-Unis). Et l’un des inte\u0301re\u0302ts principaux de cette technique, c’est que lorsque le mode\u0300le re\u0301sout une question, nous sommes certains qu’il n’y a aucune erreur. \u00a0\u00bb Quand l’algorithme re\u0301ussit le jeu, le proble\u0300me est de\u0301noue\u0301. Depuis quelques mois, certains s’en servent donc en mathe\u0301matiques.<\/p>\n

C’est le cas de DeepMind, qui a pre\u0301sente\u0301 a\u0300 l’e\u0301te\u0301 dernier AlphaProof, un mode\u0300le d’apprentissage par renforcement reposant sur l’assistant de preuves Lean, un logiciel qui ve\u0301rifie si une de\u0301monstration est correcte. Leur ide\u0301e est proche d’AlphaGo, mais ici, pluto\u0302t que de ge\u0301ne\u0301rer des coups au cours d’une partie de jeu de go jusqu’a\u0300 la victoire, leur programme e\u0301crit des lignes de de\u0301monstration jusqu’au CQFD. Cette ide\u0301e a e\u0301te\u0301 mise a\u0300 l’e\u0301preuve au sein d’un concours re\u0301pute\u0301: les Olympiades internationales de mathe\u0301matiques, une compe\u0301tition ouverte aux e\u0301le\u0300ves en fin de lyce\u0301e. Les questions pose\u0301es demandent beaucoup d’astuces et de re\u0301flexion. Avant la compe\u0301tition, AlphaProof – comme les e\u0301le\u0300ves – s’est entrai\u0302ne\u0301, a ingurgite\u0301 un grand nombre de proble\u0300mes. Le jour du concours, le mode\u0300le a re\u0301ussi trois des six proble\u0300mes (me\u0302me s’il lui a fallu jusqu’a\u0300 trois jours pour certains). \u00ab\u00a0J’e\u0301tais impressionne\u0301. Avant leur exploit, je n’aurais jamais pense\u0301 que l’IA pourrait re\u0301ussir ne serait-ce qu’un des proble\u0300mes ! \u00ab\u00a0, se souvient Kevin Buzzard.<\/p>\n

D’autres e\u0301quipes ont utilise\u0301 l’apprentissage par renforcement pour se frotter a\u0300 des proble\u0300mes ouverts de recherche. Sergei Gukov et ses colle\u0300gues ont teste\u0301 des contre-exemples de la conjecture d’Andrews-Curtis. Il s’agit d’un proble\u0300me que beaucoup pensent faux et issu de la the\u0301orie des groupes, domaine qui e\u0301tudie des ensembles d’objets avec une structure particulie\u0300re. Sans me\u0302me besoin d’un corpus de donne\u0301es d’apprentissage, ils ont teste\u0301 la validite\u0301 de contre-exemples suppose\u0301s a\u0300 cette conjecture. Et ils ont montre\u0301 qu’aucun de ceux-ci n’invalide la question. Pour l’heure, la conjecture d’Andrews-Curtis tient donc toujours…<\/p>\n

Pouvoir atteindre un jour les proble\u0300mes du mille\u0301naire<\/b><\/p>\n

Avec ces succe\u0300s, la question s’impose d’elle-me\u0302me: ou\u0300 est la limite dans ce que pourra, ou non, faire l’IA ? \u00ab\u00a0Difficile de pre\u0301voir le futur. Mais je pense qu’on est davantage en train d’explorer ce que la machine peut re\u0301soudre, pluto\u0302t que ce qu’elle ne peut pas \u00ab\u00a0, pose Geordie Williamson. D’autres sont plus optimistes: \u00ab\u00a0On se dit qu’il n’y a pas force\u0301ment de limites dans ce que la machine pourrait faire \u00ab\u00a0, admet Thomas Hubert. \u00ab\u00a0Peut-e\u0302tre que si on continue sur cette lance\u0301e, on pourrait un jour atteindre les proble\u0300mes du mille\u0301naire. Mais il reste encore beaucoup de travail a\u0300 accomplir \u00ab\u00a0, projette me\u0302me Sergei Gukov.<\/p>\n

\u00ab\u00a0Si la machine devient si performante, j’aurai du mal a\u0300 justifier de continuer la recherche \u00ab\u00a0, conce\u0300de Kevin Buzzard. Peut-e\u0302tre qu’alors il restera aux mathe\u0301maticiens a\u0300 trouver les futures conjectures inte\u0301ressantes. Et aussi de se plonger dans le raisonnement de la machine: tout l’inte\u0301re\u0302t n’est pas de savoir si oui ou non la conjecture de Riemann est vraie, mais pluto\u0302t de comprendre pourquoi elle l’est. Alors, me\u0302me si la machine envoie une de\u0301monstration longue de milliers de pages, il restera aux mathe\u0301maticiens d’essayer de la comprendre.<\/p>\n

Des applications au-dela\u0300 des mathe\u0301matiques<\/b><\/p>\n

Employer les outils de l’IA dans les mathe\u0301matiques, cela n’a pas pour seule utilite\u0301 la re\u0301solution de proble\u0300mes the\u0301oriques de longue date. \u00ab\u00a0A\u0300 partir du moment ou\u0300 nous aurons des mode\u0300les capables de faire des mathe\u0301matiques, des applications commerciales vont suivre \u00ab\u00a0, annonce Sergei Gukov, chercheur au California Institute of Technology (E\u0301tats-Unis). La pre\u0301vision me\u0301te\u0301o est un premier exemple de ces applications, \u00ab\u00a0car les e\u0301quations utilise\u0301es sont si complexes qu’on ne peut pas les re\u0301soudre exactement \u00ab\u00a0, explique Radmila Sazdanovic, chercheuse a\u0300 l’Universite\u0301 d’E\u0301tat de Caroline du Nord (E\u0301tats-Unis).<\/p>\n

Ensuite, l’apprentissage par renforcement permet d’imaginer des utilisations dans des domaines critiques comme la finance. Enfin et comme un cercle vertueux, le domaine de l’IA, lui-me\u0302me, pourrait en be\u0301ne\u0301ficier. Pour cre\u0301er des mode\u0300les capables de s’attaquer aux proble\u0300mes mathe\u0301matiques difficiles (comme les conjectures ouvertes), les chercheurs doivent de\u0301velopper de nouveaux algorithmes et de nouvelles architectures de re\u0301seaux de neurones. Le but est de cre\u0301er des syste\u0300mes capables de trouver le tre\u0300s long chemin qui me\u0300ne a\u0300 la re\u0301ponse, \u00ab\u00a0et c’est ce dont on a besoin pour faire progresser le niveau actuel de l’IA vers l’IA ge\u0301ne\u0301rale\u00a0\u00bb, pre\u0301cise Sergei Gukov.<\/p>\n

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