{"id":15707,"date":"2023-07-22T14:26:11","date_gmt":"2023-07-22T14:26:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.africa-press.net\/djibouti\/politique\/nombres-premiers-le-mystere-de-leur-repartition-bientot-resolu"},"modified":"2023-07-22T15:06:49","modified_gmt":"2023-07-22T15:06:49","slug":"nombres-premiers-le-mystere-de-leur-repartition-bientot-resolu","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.africa-press.net\/djibouti\/toutes-les-actualites\/nombres-premiers-le-mystere-de-leur-repartition-bientot-resolu","title":{"rendered":"Nombres premiers\u00a0: le myst\u00e8re de leur r\u00e9partition bient\u00f4t r\u00e9solu ?"},"content":{"rendered":"

Africa-Press – Djibouti. <\/strong><\/span>Novembre 2022. C’est l’effervescence dans la communaute\u0301 mathe\u0301matique : \u00ab\u00a0Il parai\u0302t que c\u0327a bouge autour de la conjecture de Riemann !\u00a0\u00bb Les bruits de couloir vont bon train, entre l’espoir des uns et le scepticisme des autres. Il faut dire que la conjecture de Riemann n’est rien de moins que l’un des plus importants proble\u0300mes ouverts de la discipline. Un e\u0301nonce\u0301 dont la majorite\u0301 des spe\u0301cialistes sont persuade\u0301s qu’il est exact, mais qu’ils e\u0301chouent a\u0300 de\u0301montrer depuis plus d’un sie\u0300cle et demi, malgre\u0301 des efforts acharne\u0301s. Or, si elle e\u0301tait enfin prouve\u0301e, cette hypothe\u0300se permettrait un bond spectaculaire dans la compre\u0301hension d’objets mathe\u0301matiques fondamentaux : les nombres premiers – ces entiers qui ne peuvent e\u0302tre divise\u0301s que par 1 ou eux-me\u0302mes : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.<\/p>\n

\u00ab\u00a0Les nombres premiers, c’est le de\u0301but des mathe\u0301matiques, sourit Ce\u0301cile Dartyge, chercheuse en the\u0301orie des nombres a\u0300 l’institut E\u0301lie-Cartan, a\u0300 Nancy. Tout mathe\u0301maticien a d’abord e\u0301te\u0301 un peu arithme\u0301ticien. \u00a0\u00bb En effet, ajoute Florent Jouve, chercheur dans le me\u0302me domaine a\u0300 l’Universite\u0301 de Bordeaux : \u00ab\u00a0On peut conside\u0301rer que vouloir comprendre les nombres entiers, c’est c\u0327a la vraie question, le point de de\u0301part de l’arithme\u0301tique. \u00a0\u00bb Or les nombres premiers sont les briques e\u0301le\u0301mentaires qui permettent de construire tous les autres : n’importe quel entier positif peut s’e\u0301crire sous la forme d’un produit de nombres premiers – et cerise sur le ga\u0302teau, pour chaque entier ce produit est unique ! Ils constituent donc une porte d’entre\u0301e privile\u0301gie\u0301e vers toute l’arithme\u0301tique : en e\u0301tudiant les nombres premiers, on s’inte\u0301resse indirectement a\u0300 tous les nombres entiers.<\/p>\n

Un ro\u0302le cle\u0301 en cryptographie<\/b><\/p>\n

Si l’on connai\u0302t deux tre\u0300s grands nombres premiers, il est facile de calculer leur produit – un ordinateur fait cela tre\u0300s rapidement. Mais re\u0301ciproquement, retrouver deux grands facteurs premiers a\u0300 partir de leur produit est un proble\u0300me d’une autre envergure ! Parce que les nombres premiers nous e\u0301chappent encore par bien des aspects, de\u0301cortiquer un tel produit est en ge\u0301ne\u0301ral extre\u0302mement long et ardu, me\u0302me pour nos ordinateurs. A\u0300 tel point que c’est sur la difficulte\u0301 de ce proble\u0300me que repose RSA, un protocole de cryptographie tre\u0300s re\u0301pandu, qui sert a\u0300 chiffrer des donne\u0301es pour pouvoir les e\u0301changer de manie\u0300re se\u0301curise\u0301e. En somme, les myste\u0300res des nombres premiers prote\u0300gent le secret nos communications.<\/p>\n

Un myste\u0300re qui suscite passions, hypothe\u0300ses et erreurs<\/b><\/p>\n

\u00ab\u00a0Pourtant, soupire Florent Jouve, ils restent assez myste\u0301rieux. \u00a0\u00bb En particulier, les spe\u0301cialistes e\u0301chouent a\u0300 comprendre finement la manie\u0300re dont ils se re\u0301partissent parmi les autres nombres. Si l’on examine tous les entiers positifs jusqu’a\u0300 une certaine valeur, combien parmi eux seront premiers ? Quand on connai\u0302t tous les nombres premiers jusqu’a\u0300 un certain point, peut-on pre\u0301dire quel sera le suivant ? Ou tout du moins, estimer comment e\u0301volue la diffe\u0301rence entre deux nombres premiers conse\u0301cutifs, quand on conside\u0300re des nombres de plus en plus grands ?<\/p>\n

Ces questions fondamentales et multise\u0301culaires n’ont aujourd’hui encore que des re\u0301ponses partielles. Elles font l’objet de recherches actives… Impliquant, de manie\u0300re centrale, la fameuse hypothe\u0300se de Riemann. Formule\u0301e en 1859 par Bernhard Riemann, le mathe\u0301maticien allemand qui lui a donne\u0301 son nom, cette conjecture porte sur les points d’annulation d’une certaine fonction -appele\u0301e \u00ab\u00a0ze\u0302ta de Riemann\u00a0\u00bb et de\u0301signe\u0301e par la lettre grecque z . \u00ab\u00a0Ze\u0302ta, c’est un outil analytique qui encode une grande partie des proprie\u0301te\u0301s des nombres premiers\u00a0\u00bb, explique Florent Jouve. Ce\u0301cile Dartyge pre\u0301cise : \u00ab\u00a0Si on connaissait les endroits ou\u0300 la fonction s’annule, cela nous donnerait automatiquement une meilleure connaissance de la re\u0301partition des nombres premiers .\u00a0\u00bb Force\u0301ment, un sujet d’une telle importance suscite des passions.<\/p>\n

D’ailleurs, nombreux sont les mathe\u0301maticiens, professionnels ou amateurs, qui pre\u0301tendent avoir leve\u0301 le myste\u0300re et de\u0301montre\u0301 que la conjecture est vraie. Et ils sont presque aussi nombreux a\u0300 revendiquer le contraire. On trouve ainsi sur Internet des dizaines d’entre\u0301es de type \u00ab\u00a0Proof of the Riemann hypothesis \u00a0\u00bb (\u00ab\u00a0Preuve de l’hypothe\u0300se de Riemann\u00a0\u00bb) ou \u00ab\u00a0The Riemann hypothesis is false \u00a0\u00bb (\u00ab\u00a0L’hypothe\u0300se de Riemann est fausse\u00a0\u00bb), sous la forme de pre\u0301publications de\u0301pose\u0301es sur le site arXiv ou de billets de blog. La communaute\u0301 mathe\u0301matique pre\u0302te en ge\u0301ne\u0301ral peu d’attention a\u0300 ces suppose\u0301es de\u0301monstrations, qui sont souvent grossie\u0300rement errone\u0301es de\u0300s les premie\u0300res lignes…<\/p>\n

Mais fin 2022, le sce\u0301nario est tout autre. Car celui qui aurait permis une avance\u0301e sur le sujet n’est pas n’importe qui : Yitang Zhang, un mathe\u0301maticien sino-ame\u0301ricain qui s’est de\u0301ja\u0300 illustre\u0301 par des perce\u0301es spectaculaires dans l’e\u0301tude des nombres premiers. Il n’en faut pas plus pour que la presse s’emballe : \u00ab\u00a0Yitang Zhang confirme une solution partielle a\u0300 l’hypothe\u0300se de Riemann\u00a0\u00bb titre le 8 novembre le site Web d’information chinois Pandaily. Pourtant, a\u0300 bien y regarder, on ne trouve aucune mention explicite de la fameuse conjecture dans les 111 pages de l’article mis en ligne quatre jours auparavant par le chercheur. Et pour cause : \u00ab\u00a0Il est tout simplement faux d’affirmer que Yitang Zhang s’approche de l’hypothe\u0300se de Riemann avec ce papier \u00ab\u00a0, asse\u0300ne Gergely Harcos, chercheur en the\u0301orie des nombres a\u0300 l’institut de mathe\u0301matiques Alfre\u0301d-Re\u0301nyi a\u0300 Budapest, en Hongrie, spe\u0301cialiste du sujet.<\/p>\n

Les \u00ab\u00a0proble\u0300mes du mille\u0301naire\u00a0\u00bb<\/b><\/p>\n

L’hypothe\u0300se de Riemann est l’un des \u00ab\u00a0proble\u0300mes du mille\u0301naire\u00a0\u00bb. Cette liste, e\u0301tablie par l’institut de mathe\u0301matiques Clay (CMI, Universite\u0301 du New Hampshire, E\u0301tats-Unis) et annonce\u0301e en grande pompe le 24 mai 2000 au Colle\u0300ge de France a\u0300 Paris, comprend sept questions mathe\u0301matiques conside\u0301re\u0301es comme \u00ab\u00a0certains des proble\u0300mes les plus difficiles avec lesquels se de\u0301battaient les mathe\u0301maticiens au tournant du mille\u0301naire \u00ab\u00a0. Elle est inspire\u0301e des 23 proble\u0300mes liste\u0301s en 1900 par le grand mathe\u0301maticien allemand David Hilbert, qui conside\u0301rait – a\u0300 raison – que ces questions marqueraient les mathe\u0301matiques du sie\u0300cle. Fait remarquable : l’hypothe\u0300se de Riemann apparaissait de\u0301ja\u0300 dans les proble\u0300mes de David Hilbert. Un prix d’un million de dollars ame\u0301ricains (un peu plus de 930.000 euros) est attribue\u0301 par le CMI pour la re\u0301solution de chacune des sept questions. A\u0300 l’heure actuelle, un seul proble\u0300me a ce\u0301de\u0301 – la conjecture de Poincare\u0301, e\u0301nonce\u0301e en 1904 par le Franc\u0327ais Henri Poincare\u0301 et de\u0301montre\u0301e un sie\u0300cle plus tard par le Russe Grigori Perelman. Pour cet accomplissement, le chercheur s’est vu attribuer la prestigieuse me\u0301daille Fields en 2006 puis le prix du mille\u0301naire du CMI en 2010… Distinctions qu’il a toutes deux refuse\u0301es !<\/p>\n

Une fonction de\u0301finie sur tous les nombres complexes<\/b><\/p>\n

Douche froide ? Non. Car me\u0302me en e\u0301cartant une avance\u0301e sur la conjecture de Riemann, l’inte\u0301re\u0302t des spe\u0301cialistes pour le travail du mathe\u0301maticien sino-ame\u0301ricain reste e\u0301leve\u0301. Sa pre\u0301publication, intitule\u0301e \u00ab\u00a0Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero\u00a0\u00bb , concerne en fait un autre e\u0301nonce\u0301 central en the\u0301orie des nombres : une conjecture portant sur le \u00ab\u00a0ze\u0301ro de Siegel\u00a0\u00bb. En substance, il s’agit de de\u0301montrer que les \u00ab\u00a0ze\u0301ros\u00a0\u00bb d’un certain type de fonctions – c’est-a\u0300-dire les points auxquels elles s’annulent ne sont jamais trop proches d’une certaine re\u0301gion. \u00ab\u00a0Les fonctions auxquelles on s’inte\u0301resse s’appellent fonctions L de Dirichlet, de\u0301taille Florent Jouve. On aimerait de\u0301montrer que, pour ces fonctions, un certain type de ze\u0301ro ‘exceptionnel’ n’existe pas. Mais on n’arrive pas a\u0300 le prouver. Ce que pre\u0301tend Yitang Zhang, c’est qu’il est parvenu a\u0300 comprendre beaucoup plus pre\u0301cise\u0301ment ou\u0300 se situerait cet hypothe\u0301tique ‘ze\u0301ro de Siegel’. \u00a0\u00bb \u00ab\u00a0Le travail de Yitang Zhang reste tre\u0300s e\u0301loigne\u0301 de l’hypothe\u0300se de Riemann, et ne constitue me\u0302me pas une preuve de la conjecture sur le ze\u0301ro de Siegel, reprend Gergely Harcos. Reste que si sa de\u0301monstration est juste, cela constituera tout de me\u0302me un immense progre\u0300s pour les the\u0301oriciens des nombres ! \u00a0\u00bb<\/p>\n

Mais comment diable en est-on venu a\u0300 e\u0301tudier les points d’annulation de fonctions bizarres pour tenter de comprendre les nombres premiers ? Pour bien des chercheurs et chercheuses, c’est ce genre de ponts entre des domaines en apparence e\u0301loigne\u0301s des mathe\u0301matiques qui font la beaute\u0301 de la discipline. Sa magie. Sa puissance. Car historiquement, de tels liens se sont re\u0301ve\u0301le\u0301s incroyablement fe\u0301conds – en particulier dans le domaine de la the\u0301orie des nombres.<\/p>\n

La fonction ze\u0302ta est initialement de\u0301finie pour tous les nombres re\u0301els s >1 par une formule. De\u0300s 1735, elle est e\u0301tudie\u0301e par le mathe\u0301maticien suisse Leonhard Euler, qui de\u0301montre notamment que la somme de l’inverse des carre\u0301s de nombres entiers vaut \u03c02 \/6. Il ge\u0301ne\u0301ralise ce re\u0301sultat en de\u0301montrant une formule qui donne explicitement la valeur de z pour tous les entiers positifs pairs.<\/p>\n

Associer une fonction a\u0300 une certaine suite nume\u0301rique est une ide\u0301e centrale en the\u0301orie des nombres. Ici, cela de\u0301finit la fonction ze\u0302ta de Riemann, intimement lie\u0301e a\u0300 la re\u0301partition des nombres premiers.<\/p>\n

Mais c’est au milieu du 19e sie\u0300cle que la ve\u0301ritable re\u0301volution intervient. C’est alors le plein essor de l’analyse complexe. Cette discipline porte sur l’e\u0301tude des fonctions complexes, c’est-a\u0300-dire celle qui associent un nombre complexe a\u0300 un autre nombre complexe – la\u0300 ou\u0300 les fonctions plus traditionnelles prennent un nombre re\u0301el et lui associent un nombre re\u0301el (un nombre complexe z s’e\u0301crit a + ib, ou\u0300 a et b sont des nombres re\u0301els et i un nombre tel que i2 = -1). Bernhard Riemann a alors l’ide\u0301e – lumineuse – de prolonger la fonction ze\u0302ta pour en faire une fonction de\u0301finie sur tous les nombres complexes (a\u0300 l’exception de 1, pour des raisons techniques), afin de pouvoir l’e\u0301tudier avec des outils issus de ce nouveau champ de l’analyse. \u00ab\u00a0Ce qui est tre\u0300s puissant, c’est qu’une fois prolonge\u0301e comme Bernhard Riemann l’a fait, la fonction ze\u0302ta ve\u0301rifie une jolie e\u0301quation fonctionnelle – une relation entre fonctions -, qui permet d’e\u0301tablir un lien explicite entre ses ze\u0301ros et la re\u0301partition des nombres premiers\u00a0\u00bb, souligne Ce\u0301cile Dartyge.<\/p>\n

Nous y voila\u0300 : le proble\u0300me fondamental de la re\u0301partition des nombres premiers est devenu un proble\u0300me d’e\u0301tude des ze\u0301ros d’une fonction complexe. Or, si certains des ze\u0301ros de ze\u0302ta sont bien connus – on parle de \u00ab\u00a0ze\u0301ros triviaux\u00a0\u00bb, et il s’agit de tous les entiers pairs strictement ne\u0301gatifs – d’autres persistent a\u0300 nous e\u0301chapper. Car si l’on visualise l’ensemble des nombres complexes comme un plan, on sait que les ze\u0301ros \u00ab\u00a0non triviaux\u00a0\u00bb sont tous localise\u0301s dans une certaine bande. Mais l’hypothe\u0300se de Riemann pre\u0301tend qu’ils sont en re\u0301alite\u0301 tous situe\u0301s sur une me\u0302me droite du plan complexe, bien range\u0301s. Une hypothe\u0300se largement confirme\u0301e par les simulations nume\u0301riques que l’on a effectue\u0301es, mais que des ge\u0301ne\u0301rations de chercheurs se sont acharne\u0301es a\u0300 essayer de de\u0301montrer. En vain. \u00ab\u00a0C’est un proble\u0300me extre\u0302mement difficile, insiste Florent Jouve. En te\u0301moignent tous les efforts qui ont de\u0301ja\u0300 e\u0301te\u0301 de\u0301ploye\u0301s pour tenter de le re\u0301soudre, sans succe\u0300s.\u00a0\u00bb Aujourd’hui, on s’e\u0301vertue a\u0300 re\u0301duire la zone dans laquelle on sait que tous les ze\u0301ros non triviaux sont situe\u0301s, pour tenter de la rapprocher de la droite pressentie par Bernhard Riemann.<\/p>\n

Prudence et scepticisme sont de rigueur<\/b><\/p>\n

Quel rapport avec les travaux de Yitang Zhang ? \u00ab\u00a0La conjecture qui pre\u0301tend qu’il n’existe pas de ze\u0301ro ‘exceptionnel’ pour les fonctions L de Dirichlet est une conse\u0301quence de l’hypothe\u0300se de Riemann, explique Andrew Granville, de l’Universite\u0301 de Montre\u0301al (Canada). Plus pre\u0301cise\u0301ment : s’il existait un tel ze\u0301ro, cela de\u0301montrerait que la conjecture de Riemann est fausse. On cherche donc a\u0300 de\u0301montrer que ce n’est pas le cas.\u00a0\u00bb Au mieux Yitang Zhang a-t-il donc de\u0301montre\u0301 qu’il sera encore plus difficile que pre\u0301vu de trouver un contre-exemple a\u0300 l’hypothe\u0300se de Riemann… Ce qui est bien loin d’apporter la preuve de son exactitude.<\/p>\n

Sans compter que la justesse des travaux du mathe\u0301maticien sino-ame\u0301ricain laisse aujourd’hui un certain nombre de spe\u0301cialistes sceptiques. Terence Tao, re\u0301fe\u0301rence mondiale dans le domaine, avait repe\u0301re\u0301 des coquilles dans la pre\u0301publication de\u0300s la mi-novembre 2022, appelant a\u0300 la prudence. Un mois plus tard, Gergely Harcos lui aussi se disait \u00ab\u00a0moins optimiste qu’au de\u0301part quant a\u0300 l’exactitude des re\u0301sultats pre\u0301sente\u0301s\u00a0\u00bb . A\u0300 l’heure actuelle, le papier n’est toujours ni accepte\u0301 pour publication, ni rejete\u0301. Mais me\u0302me dans l’hypothe\u0300se de travaux finalement invalide\u0301s par la communaute\u0301, reste – toujours – l’espoir d’y trouver des ide\u0301es nouvelles pour poursuivre les recherches. Une certitude demeure en tout cas : l’effervescence qu’a suscite\u0301e cette affaire est symptomatique de l’importance accorde\u0301e aux questions tournant autour de la the\u0301orie analytique des nombres et de sa que\u0302te, formidablement actuelle, de la re\u0301partition des nombres premiers.<\/p>\n

Yitang Zhang, les nombres premiers cheville\u0301s au corps<\/b><\/p>\n

Ne\u0301 en 1955, Yitang Zhang est un mathe\u0301maticien sino-ame\u0301ricain, spe\u0301cialiste de the\u0301orie des nombres. Apre\u0300s des e\u0301tudes a\u0300 l’Universite\u0301 de Pe\u0301kin, en Chine, puis a\u0300 l’Universite\u0301 Purdue, aux E\u0301tats-Unis, il peine pendant quelques anne\u0301es a\u0300 trouver un poste de chercheur, mais finit par e\u0302tre embauche\u0301 a\u0300 l’Universite\u0301 du New Hampshire. Ses recherches tournent autour des nombres premiers. Il s’inte\u0301resse d’abord a\u0300 la conjecture de Landau-Siegel, puis se tourne vers un autre proble\u0300me central du domaine : la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui pre\u0301tend qu’il existe une infinite\u0301 de nombres premiers qui ne diffe\u0300rent que de deux (comme 11 et 13 ou 29 et 31). En 2013, Yitang Zhang est propulse\u0301 sur le devant de la sce\u0300ne mathe\u0301matique mondiale par la de\u0301monstration d’une forme faible de cet e\u0301nonce\u0301 : il existe une infinite\u0301 de nombres premiers qui diffe\u0300rent de moins de 70 millions. Une ve\u0301ritable prouesse qui ouvrira la voie a\u0300 une collaboration mondiale sur ce sujet. Mais la conjecture de Landau-Siegel lui tourne toujours dans la te\u0302te. Fin 2022, Yitang Zhang met en ligne une pre\u0301publication qui pre\u0301tend affiner la compre\u0301hension de ce proble\u0300me – sans pour autant le re\u0301soudre entie\u0300rement. Quelle sera la poste\u0301rite\u0301 de ce travail ? L’avenir le dira, car la preuve doit encore e\u0302tre valide\u0301e par la communaute\u0301 mathe\u0301matique.<\/p>\n

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Africa-Press – Djibouti. Novembre 2022. C’est l’effervescence dans la communaute\u0301 mathe\u0301matique : \u00ab\u00a0Il parai\u0302t que c\u0327a bouge autour de la conjecture de Riemann !\u00a0\u00bb Les bruits de couloir vont bon train, entre l’espoir des uns et le scepticisme des autres. 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