Météo : résoudre des équations qui n’ont pas de solution

Africa-Press – Tchad. Pour prévoir le temps, “la connaissance des processus en jeu dans l’atmosphère est primordiale” , reconnaît Bernard Legras, directeur de recherche émérite au Laboratoire de météorologie dynamique. Et des processus en jeu, il y en a beaucoup. L’atmosphère étant un mélange de gaz, c’est la mécanique des fluides qui régit ses mouvements, c’est-à-dire l’évolution de la vitesse des molécules d’air, de leur température, de la pression atmosphérique et de leur hygrométrie. Il faut aussi considérer ce qui transforme ces différents paramètres: l’irradiation solaire qui modifie la température, les changements d’état de l’eau, le relief qui influe sur les courants aériens, la végétation, la rotation de la Terre, et même les interactions chimiques entre les différents gaz de l’atmosphère…

“Si l’on change quelque chose quelque part, ça change tout !”

Le problème est que la mécanique des fluides est décrite par un ensemble d’équations très spéciales, appelées “équations de Navier-Stokes” car mises au point par le Français Henri Navier en 1822 et l’Irlandais George Gabriel Stokes en 1845. “Ce sont des équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement d’un fluide, donc l’évolution du champ de vitesses de toutes les particules qui le composent, précise Isabelle Gallagher, professeure à l’École normale supérieure. Elles sont non linéaires et non locales, c’est-à-dire que si l’on change quelque chose quelque part, ça change tout ! Personne n’en a jamais démontré de solution unique.”

Leur résolution est même l’un des sept défis proposés en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay, avec, à la clé, un prix d’un million de dollars. Elles servent à modéliser les mouvements de l’atmosphère, mais aussi les courants océaniques, les courants d’air autour des ailes d’avion ou la circulation du sang dans les artères. Bien qu’elles respectent les grands principes physiques, comme la conservation de l’énergie ou de la masse, on ne peut pas résoudre ces équations analytiquement. Pour un fluide très visqueux comme l’huile d’olive, l’écoulement sera toujours laminaire, c’est-à-dire sans mouvement intempestif.

Les prévisions météorologiques ne sont concevables que sur un délai maximal de 15 jours

Mais l’air est très peu visqueux… Les écoulements se produisent donc de manière chaotique, avec de nombreux tourbillons. C’est la turbulence, qu’on ne sait modéliser finement que pour des cas très simples. Pour intégrer ces équations dans les calculs, il faut donc réaliser des approximations, par exemple considérer que le fluide, l’air dans le cas de la météo, est incompressible. Ce qui n’est pas vraiment le cas, car son volume dépend de la pression atmosphérique et de la température. Mais en faisant abstraction de cette propriété, les météorologistes peuvent décrire pas à pas l’évolution des vitesses de chaque élément de l’atmosphère dans de vastes simulations numériques.

Se pose alors la question des conditions initiales. “C’est un autre problème des équations de Navier-Stokes, reprend Bernard Legras. Comme l’a démontré le mathématicien et météorologiste Edward Lorenz en 1963, prenant l’image du battement d’aile d’un papillon qui changerait complètement le résultat d’une simulation numérique s’il était on non pris en compte, les équations sont très instables. Les solutions divergent très vite.” C’est pourquoi les prévisions météorologiques ne sont concevables que sur un délai maximal de 15 jours, avec des résultats valables seulement sur 5 jours.

Un papillon dans les simulations

Contrairement à ce que chante Bénabar et à ce que croit la majorité de la population, le battement d’aile d’un papillon ne provoque pas, ou non, un ouragan aux antipodes. Mais le prendre en compte ou non dans les simulations numériques peut engendrer deux prévisions complètement opposées. La cause ? La sensibilité aux conditions initiales des équations de Navier-Stokes ! Edward Lorenz a pris cet exemple car si l’on place sur un repère orthonormé l’évolution de points différents, ceux-ci divergent rapidement mais se retrouvent tous sur une figure particulière, un “attracteur étrange”. Dans le cas de l’évolution de trois paramètres météorologiques, cette figure a la forme d’un papillon.

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