Africa-Press – CentrAfricaine. Comment faire d’un triangle un carré et cela, le plus efficacement possible ? Le 6 avril 1902, le problémiste britannique Henry Ernest Dudeney, le formule ainsi: est-il possible de découper un triangle équilatéral en un nombre aussi réduit que possible de morceaux qui s’assembleront pour former un carré parfait ? Les pièces ne doivent pas se chevaucher et, si elles peuvent être tournées, elles ne peuvent pas être retournées.
Le 20 avril de la même année, le Britannique donne une solution assez simple à cinq morceaux mais indique aussi qu’un certain monsieur C.W. McElroy de Manchester a, quant à lui, trouvé une solution à quatre pièces. Il donne encore deux semaines à ses lecteurs pour qu’ils la trouvent. Finalement, personne ne réussit et le 4 mai, Henry Ernest Dudeney donne la solution. Venait-elle vraiment de Dudeney ou a-t-il repris celle de McElroy sans jamais y avoir pensé lui-même ? Mystère…
Mais plus de 120 ans après, peut-on toujours dire que cette solution historique est optimale ou peut-on résoudre ce problème avec moins de quatre pièces ?
Une solution optimale
Dans une étude encore non relue par les pairs et déposée en décembre 2024 sur le site ArXiv, deux chercheurs de l’Institut japonais avancé des sciences et technologies et un chercheur du célèbre MIT (Massachusetts Institute of Technology, Etats-Unis) répondent enfin à cette question. Non, il n’est pas possible de résoudre ce problème avec moins de quatre pièces. Henry Ernest Dudeney (ou McElroy) a bien trouvé la solution optimale.
« Plus d’un siècle plus tard, nous avons enfin résolu l’énigme de Dudeney en prouvant que le triangle équilatéral et le carré n’ont pas de dissection commune avec trois pièces polygonales ou moins, explique, le 10 mars dans un communiqué le professeur Uehara, co-auteur de l’étude. Nous y sommes parvenus grâce à une nouvelle technique de preuve utilisant des diagrammes de correspondance. »
Des applications concrètes
Déjà, les chercheurs ont éliminé la possibilité d’une solution à deux pièces -« il est relativement facile de démontrer l’impossibilité d’une dissection en deux parties », écrivent-ils – puis ils se sont attaqués à la possibilité d’une dissection en trois morceaux. Ils ont donc utilisé des diagrammes de correspondance.
Avec cette méthode, les différentes pièces formant le triangle et le carré sont réduites à un graphe qui lie leurs côtés et leurs sommets. « Lorsque deux polygones peuvent être disséqués l’un dans l’autre, il existe deux relations de correspondance: l’une entre les sommets et l’autre entre les bords des pièces », expliquent les chercheurs. Si la correspondance n’est pas possible, alors c’est qu’il n’y a pas de solution. C’est ainsi que l’utilisation de trois pièces seulement s’est révélée impossible.
Si résoudre de tels problèmes paraît anecdotique, cela a en réalité un intérêt concret, notamment dans le design de textiles, l’ingénierie ou les procédés industriels.
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